Question

10．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，F為其右焦點，若AF⊥BF，設∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，則該橢圓離心率的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由橢圓的焦點在x軸上，設左焦點為F₁，根據橢圓的定義：|AF|+|AF₁|=2a，∠ABF=α，則：∠AF₁F=α．則2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，由α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，根據正弦函數的圖象及性質，求得橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓離心率的最大值．

解答 解：已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，設左焦點為F₁，
則：連接AF，AF₁，AF，BF
所以：四邊形AFF₁B為長方形．
根據橢圓的定義：|AF|+|AF₁|=2a，
∠ABF=α，則：∠AF₁F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
由α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，
α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$]，
$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
∴e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
故橢圓離心率的最大值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選A．

點評 本題考查了橢圓的定義及其性質、兩角差的正弦公式、正弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．