Question

16．已知函數f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，（m∈R）．
（1）試判斷f（x）的單調性，并證明你的結論；
（2）是否存在實數m使函數f（x）為奇函數？
（3）對于（2）中的函數f（x），若f（t+1）+f（t）≥0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據單調性的定義證明，步驟：①取值 ②作差 ③化簡 ④判號 ⑤下結論；
（2）先用特值法f（0）=0求出a，再檢驗；
（3）根據函數的奇偶性和單調性得出t+1≥-t，解答即可．

解答 解：（1）定義域為（-∞，+∞），而y=2^x為增函數，所以y=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為減函數，
所以f（x）=）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，為增函數，證明如下：
設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，
所以函數f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為增函數．
（2）假設存在數m，使函數f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），
所以f（0）=0，所以m=1；
（3）結合（1）和（2）可以得，f（t+1）≥f（-t），所以t+1≥-t，
所以t的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性和單調性，其中熟練掌握函數奇偶性和單調性的定義及證明方法是解答的關鍵