Question

20．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$ 是互相垂直的單位向量，若$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$  與$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，則實數λ的值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據平面向量的數量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．

解答 解：$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$ 是互相垂直的單位向量，
∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0；
又$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$  與$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，
∴（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$|×|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|×cos60°，
即$\sqrt{3}$${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+（$\sqrt{3}λ$-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$-λ${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=$\sqrt{{3\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{+\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$×$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+2λ\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{{+λ}^{2}\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$×$\frac{1}{2}$，
化簡得$\sqrt{3}$-λ=$\sqrt{3+1}$×$\sqrt{1{+λ}^{2}}$×$\frac{1}{2}$，
即$\sqrt{3}$-λ=$\sqrt{1{+λ}^{2}}$，
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了單位向量和平面向量數量積的運算問題，是中檔題．