Question

5．已知{x_n}是各項均為正數的等比數列，且x₁+x₂=3，x₃-x₂=2．
（Ⅰ）求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P₁（x₁，1），P₂（x₂，2）…P_n+1（x_n+1，n+1）得到折線P₁ P₂…P_n+1，求由該折線與直線y=0，x=x₁，x=x_n+1所圍成的區域的面積T_n．

Answer 1

分析 （I）列方程組求出首項和公比即可得出通項公式；
（II）從各點向x軸作垂線，求出梯形的面積的通項公式，利用錯位相減法求和即可．

解答 解：（I）設數列{x_n}的公比為q，則q＞0，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{1}q=3}\\{{x}_{1}{q}^{2}-{x}_{1}q=2}\end{array}\right.$，
兩式相比得：$\frac{1+q}{{q}^{2}-q}=\frac{3}{2}$，解得q=2或q=-$\frac{1}{3}$（舍），
∴x₁=1，
∴x_n=2^n-1．
（II）過P₁，P₂，P₃，…，P_n向x軸作垂線，垂足為Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，
記梯形P_nP_n+1Q_n+1Q_n的面積為b_n，
則b_n=$\frac{n+n+1}{2}×{2}^{n-1}$=（2n+1）×2^n-2，
∴T_n=3×2^-1+5×2⁰+7×2¹+…+（2n+1）×2^n-2，①
∴2T_n=3×2⁰+5×2¹+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1，②
①-②得：-T_n=$\frac{3}{2}$+（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）×2^n-1
=$\frac{3}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）×2^n-1=-$\frac{1}{2}$+（1-2n）×2^n-1．
∴T_n=$\frac{（2n-1）×{2}^{n}+1}{2}$．

點評 本題考查了等比數列的性質，錯位相減法求和，屬于中檔題．