Question

13．已知函數f（x）=x+$\frac{λ}{e^x}$．
（Ⅰ）當λ＞0時，求證：f（x）≥（1-λ）x+λ，并指出等號成立的條件；
（Ⅱ）求證：對任意實數λ，總存在實數x∈[-3，3]，有f（x）＞λ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）構造函數g（x）=f（x）-（1-λ）x-λ，根據導數和函數的最值即可證明，
（Ⅱ）對任意實數λ，總存在實數x∈[-3，3]，有f（x）＞λ等價于f（x）的最大值大于λ，求導后，分類討，根據導數和函數的最值得關系即可證明

解答 解：（Ⅰ）設g（x）=f（x）-（1-λ）x-λ=x+$\frac{λ}{e^x}$-（1-λ）x-λ=λ（$\frac{1}{{e}^{x}}$-x-1），
∴g′（x）=λ（1-$\frac{1}{{e}^{x}}$），
令g′（x）=0，解得x=0，
當x＞0時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增，
當x＜0時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴f（x）≥（1-λ）x+λ，當x=0時取等號，
（Ⅱ）證明：“對任意實數λ，總存在實數x∈[-3，3]，有f（x）＞λ等價于f（x）的最大值大于λ．
∵f′（x）=1-λe^-x，
∴當λ≤0時，x∈[-3，3]，f′（x）＞0，f（x）在[-3，3]上單調遞增，
∴f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=λ．
∴當λ≤0時命題成立；
當λ＞0時，由f′（x）=0得x=lnλ，
則x∈R時，x，f′（x），f（x）關系如下：

x	（-∞，0）	lna	（0，+∞）
f（x）	-	0	+
f′（x）	↓	極小值	↑

（1）當λ≥e³時，lnλ≥3，f（x）在[-3，3]上單調遞減，
∴f（x）的最大值f（-3）＞f（0）=λ．
∴當λ≥e³時命題成立；
（2）當e^-3＜λ＜e³時，-3＜lnλ＜3，
∴f（x）在（-3，lnλ）上單調遞減，在（lnλ，3）上單調遞增．
∴f（x）的最大值為f（-3）或f（3）；
且f（-3）＞f（0）=λ與f（3）＞f（0）=λ必有一成立，
∴當e^-3＜λ＜e³時命題成立；
（3）當0＜λ≤e^-3時，lnλ≤-3，
∴f（x）在[-3，3]上單調遞增，
∴f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=λ．
所以當0＜λ≤e^-3時命題成立；
綜上所述，對任意實數λ，總存在實數x∈[-3，3]，有f（x）＞λ

點評 本題考查了導數和函數的最值，以及不等式的證明，考查了分類討論的思想，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于難題