Question

8．已知a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca=1，求證：
（Ⅰ）a²+b²+c²≥1；
（Ⅱ）$a+b+c≥\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）根據基本不等式即可得出結論；
（II）使用分析法，結合（I）的結論即可得出證明．

解答 證明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca=1，
∴a²+b²+c²≥1．
（Ⅱ）要證$a+b+c≥\sqrt{3}$，
需證${（a+b+c）^2}≥{（\sqrt{3}）^2}$，
即證a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≥3，
需證a²+b²+c²≥1，
∵由（Ⅰ）知a²+b²+c²≥1成立，
∴$a+b+c≥\sqrt{3}$．

點評 本題考查了不等式的證明，基本不等式的應用，屬于中檔題．