Question

1．設(shè)a，b∈R，|a|≤1．已知函數(shù)f（x）=x³-6x²-3a（a-4）x+b，g（x）=e^xf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）和y=e^x的圖象在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處有相同的切線，
（i）求證：f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）若關(guān)于x的不等式g（x）≤e^x在區(qū)間[x₀-1，x₀+1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，列表后可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，由題意知$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）={e^{x_0}}\\ g'（{x_0}）={e^{x_0}}\end{array}\right.$，求解可得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=1\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$．得到f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）由（I）知x₀=a．且f（x）在（a-1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x₀=a時，f（x）≤f（a）=1在[a-1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤e^x在[x₀-1，x₀+1]上恒成立．由f（a）=a³-6a²-3a（a-4）a+b=1，得b=2a³-6a²+1，-1≤a≤1．構(gòu)造函數(shù)t（x）=2x³-6x²+1，x∈[-1，1]，利用導(dǎo)數(shù)求其值域可得b的范圍．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=x³-6x²-3a（a-4）x+b，可得f'（x）=3x²-12x-3a（a-4）=3（x-a）（x-（4-a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4-a．由|a|≤1，得a＜4-a．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	（a，4-a）	（4-a，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a），（4-a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，4-a）；
（Ⅱ）（i）證明：∵g'（x）=e^x（f（x）+f'（x）），由題意知$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）={e^{x_0}}\\ g'（{x_0}）={e^{x_0}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）{e^{x_0}}={e^{x_0}}\\{e^{x_0}}（f（{x_0}）+f'（{x_0}））={e^{x_0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=1\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$．
∴f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）解：∵g（x）≤e^x，x∈[x₀-1，x₀+1]，由e^x＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x₀）=1，f'（x₀）=0，
故x₀為f（x）的極大值點(diǎn)，由（I）知x₀=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4-a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a-1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x₀=a時，f（x）≤f（a）=1在[a-1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤e^x在[x₀-1，x₀+1]上恒成立．
由f（a）=a³-6a²-3a（a-4）a+b=1，得b=2a³-6a²+1，-1≤a≤1．
令t（x）=2x³-6x²+1，x∈[-1，1]，
∴t'（x）=6x²-12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（-1）=-7，t（1）=-3，t（0）=1，故t（x）的值域?yàn)閇-7，1]．
∴b的取值范圍是[-7，1]．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．