Question

4．已知函數f（x）=（$\frac{1}{2}$a-$\sqrt{3}$）sinx+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+1）cosx，將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度得到函數g（x）的圖象，若對任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），則a的值為2．

Answer 1

分析 首先化簡三角函數式，然后由圖象的平移得到g（x）解析式，根據對任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），得到關于a 的等式解之．

解答 解：f（x）=（$\frac{1}{2}$a-$\sqrt{3}$）sinx+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+1）cosx=asin（x+$\frac{π}{3}$）-2sin（x-$\frac{π}{6}$），將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度得到函數g（x）=asinx-2sin（x-$\frac{π}{2}$）=asinx+2cosx，
因為對任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），所以$\sqrt{{a}^{2}+4}=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\sqrt{2}$，解得a=2；
故答案為：2．

點評 本題考查了三角函數式的化簡以及圖象變換；由對任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），得到關于a 的等式是關鍵．