Question

3．已知函數f（x）=（$\sqrt{3}$tanx+1）cos²x．
（1）若α∈（$\frac{π}{2}$，π），且cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求f（α）的值；
（2）討論函數f（x）在x≥$\frac{π}{4}$，且x≤$\frac{3π}{4}$范圍內的單調性．

Answer 1

分析 （1）由cosα的值求出sinα、tanα的值，再計算f（α）的值；
（2）求出函數f（x）的定義域，化f（x）為正弦型函數，求出x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）和x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]時f（x）的單調性即可．

解答 解：（1）α∈（$\frac{π}{2}$，π），且cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1{-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-2，
∴f（α）=（-2$\sqrt{3}$+1）×${（-\frac{\sqrt{5}}{5}）}^{2}$=$\frac{1-2\sqrt{3}}{5}$；
（2）函數f（x）的定義域為{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，
且f（x）=（$\sqrt{3}$tanx+1）cos²x
=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
此時函數f（x）單調遞減；
x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
此時函數f（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上單調遞減，
在（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調遞增；
綜上，函數f（x）在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）和區間（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上單調遞減，
在區間（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調遞增．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數的圖象與性質，以及同角的三角函數關系應用問題，是綜合題．