Question

15．記函數(shù)y=e^x在x=n（n=1，2，3，…）處的切線為l_n．若切線l_n與l_n+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（A_n，B_n），那么（　　）

• A． 數(shù)列{A_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{B_n}是等比數(shù)列
• B． 數(shù)列{A_n}與{B_n}都是等差數(shù)列
• C． 數(shù)列{A_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{B_n}是等差數(shù)列
• D． 數(shù)列{A_n}與{B_n}都是等比數(shù)列

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線l_n的方程，l_n+1的方程，解方程可得A_n，B_n，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷．

解答 解：函數(shù)y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
可得切線l_n的方程為y-eⁿ=eⁿ（x-n），①
l_n+1的方程為y-eⁿ⁺¹=eⁿ⁺¹（x-n-1），②
由①②解得A_n=n+$\frac{1}{e-1}$；
B_n=$\frac{{e}^{n+1}}{e-1}$，
即有數(shù)列{A_n}是首項(xiàng)為$\frac{e}{e-1}$，公差為1的等差數(shù)列，
數(shù)列{B_n}是首項(xiàng)為$\frac{{e}^{2}}{e-1}$，公比為e的等比數(shù)列．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．