Question

20．已知曲線C₁：y=e^x與曲線C₂：y=（x+a）²．若兩個曲線在交點處有相同的切線，則實數a的值為2-ln4．

Answer 1

分析 分別求出曲線C₁，曲線C₂所對的函數的導數，設兩曲線的公共點坐標為（x₀，y₀），運用切線的斜率相等和切點在兩曲線上，解方程，即可得到a的值．

解答 解：y=e^x的導數為y'=e^x，
y=（x+a）²的導數為y'=2（x+a），
設兩曲線的公共點坐標為（x₀，y₀），
依據題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{{e^{x_0}}={{（{x_0}+a）}^2}}\\{{e^{x_0}}=2（{x_0}+a）}\end{array}}\right.$，
消${e^{x_0}}$可得${（{x_0}+a）^2}=2（{x_0}+a）≠0$，
所以x₀+a=2，
所以${e^{x_0}}=4$，即x₀=ln4，
所以a=2-ln4．
故答案為：a=2-ln4．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查導數的幾何意義，正確求導和運用切點的性質是解題的關鍵，屬于中檔題．