Question

10．對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f″是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．請你根據這一發現為條件，若給定函數g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x-\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=1008．

Answer 1

分析 由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱，即f（x）+f（1-x）=1，即可得到結論．

解答 解：函數的導數g′（x）=x²-x+2，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故函數g（x）關于點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=1，
故設g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=m，
則g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…g（$\frac{1}{2017}$）=m，
兩式相加得1×2016=2m，
則m=1008，
故答案為：1008

點評 本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．