Question

1．已知函數$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示，下列說法正確的有（　　）個
①函數f（x）的圖象關于直線$x=-\frac{5π}{12}$對稱
②函數f（x）在$[-\frac{π}{3}，0]$上單調遞增
③函數f（x）的圖象關于點$（-\frac{2π}{3}，0）$對稱
④將函數y=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位得到f（x）的圖象．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據函數f（x）的部分圖象求出f（x）的解析式，再根據三角函數的圖象與性質，判斷題目中的命題是否正確．

解答 解：根據函數f（x）的部分圖象知，
A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2；
由五點法畫圖知，x=$\frac{π}{12}$時f（$\frac{π}{12}$）=2，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
對于①，x=-$\frac{5π}{12}$f（-$\frac{5π}{12}$）=2sin（2×（-$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{3}$）=-2
∴函數f（x）的圖象關于直線$x=-\frac{5π}{12}$對稱，命題正確；
對于②，x∈$[-\frac{π}{3}，0]$時，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，f（x）是單調遞增函數，命題正確；
對于③，x=-$\frac{2π}{3}$f（-$\frac{2π}{3}$）=2sin[2×（-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=0，
∴函數f（x）的圖象關于點$（-\frac{2π}{3}，0）$對稱，命題正確；
對于④，將函數y=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，
得到y=2sin2（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
不是f（x）的圖象，∴命題錯誤．
綜上，正確的命題序號是①②③，共3個．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了由函數的部分圖象求解析式的應用問題，是綜合題．