Question

12．在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意給定的a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質：
（1）對任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）對任意a∈R，a*0=a；（3）對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．關于函數(shù)f（x）=（3x）*$\frac{1}{3x}$的性質，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，+∞）．
其中所有正確說法的個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 通過賦值法對f（x）的解析式進行化簡，利用導數(shù)法分析出函數(shù)的單調性和最值，
再利用函數(shù)奇偶性的定義分析出函數(shù)的奇偶性，可得答案．

解答 解：由新運算“*”的定義，令c=0，則a*b=ab+a+b，
∴f（x）=（3x）*（$\frac{1}{3x}$）=1+3x+$\frac{1}{3x}$，
∴f′（x）=3-$\frac{1}{{3x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=±$\frac{1}{3}$；
對于①，根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質可得，
在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{3}$）上，函數(shù)圖象向下，向上無限延長
∴函數(shù)f（x）的最小值為3是錯誤的；
對于②，f（-x）=1-3x-$\frac{1}{3x}$與-f（x）=-1-3x-$\frac{1}{3x}$不相等，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)是錯誤的；
對于③，當x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
同理，當x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-$\frac{1}{3}$）和（$\frac{1}{3}$，+∞），正確；
綜上，正確的命題是③．
故選：B．

點評 本題考查了新定義運算型問題，也考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調性等有關性質問題，是綜合題．