Question

4．在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且2sinAcosC=2sinB-sinC．
（1）求∠A的大小；
（2）在銳角△ABC中，a=$\sqrt{3}$，求c+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的正弦函數公式，三角形內角和公式化簡已知等式可得2cosAsinC=sinC，結合sinC≠0，可求
cosA=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），可得A的值．
（2）由正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用可得c+b=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），結合范圍B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數的圖象和性質可求其取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵2sinAcosC=2sinB-sinC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，
∴2cosAsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵在銳角△ABC中，a=$\sqrt{3}$，由（1）可得A=$\frac{π}{3}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴c+b=2sinC+2sinB=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=3sinB+$\sqrt{3}$cosB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），可得：b+c=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（3.2$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數公式，三角形內角和公式，正弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．