Question

19．已知F₁，F₂分別是橢圓mx²+y²=m（0＜m＜1）的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，若$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值為$\frac{4}{3}$，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，再由$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值為$\frac{4}{3}$，結合對勾函數的單調性可知當$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$取最大值為a+c時成立，求得c值，則橢圓離心率可求．

解答 解：令|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=s，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t，
則$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$為$\frac{{t}^{2}+s}{s}$，其最小值為$\frac{4}{3}$，
則$\frac{{t}^{2}}{s}$的最小值為$\frac{1}{3}$．
由橢圓mx²+y²=m，得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，
∵0＜m＜1，∴橢圓的長軸長為2．
∴$\frac{（2-s）^{2}}{s}=\frac{4}{s}+s-4≥\frac{1}{3}$，
∴$\frac{4}{s}+s≥\frac{13}{3}$，
由$\frac{4}{s}+s=\frac{13}{3}$，解得s=$\frac{4}{3}$或s=3（舍）．
由對勾函數的單調性可知，當s有最大值為a+c=$\frac{4}{3}$時，$\frac{{t}^{2}+s}{s}$有最小值為$\frac{4}{3}$，
即1+c=$\frac{4}{3}$，得c=$\frac{1}{3}$．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓定義的應用，訓練了利用“對勾函數”的單調性求函數最值，是中檔題．