Question

11．函數f（x）的定義域是（0，$\frac{π}{2}$），f′（x）是它的導函數，且f（x）+tanx•f′（x）＞0在定義域內恒成立，則（　　）

• A． f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• B． $\sqrt{2}$sin1•f（1）＞f（$\frac{π}{4}$）
• C． f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 f（x）+tanx•f′（x）＞0在定義域內恒成立，可知cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0，可構造函數g（x）=sinx•f（x），求導判斷其單調性，即可得到$\sqrt{2}$sin1•f（1）＞f（$\frac{π}{4}$）．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴由f（x）+tanx•f′（x）＞0，得cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
令g（x）=sinx•f（x），則g′（x）=cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數，
∴g（1）＞g（$\frac{π}{4}$），即sin1•f（1）＞sin$\frac{π}{4}$•f（$\frac{π}{4}$）．
∴sin1•f（1）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$•f（$\frac{π}{4}$）．
則$\sqrt{2}$sin1•f（1）＞f（$\frac{π}{4}$）．
故選：B．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，由已知構造函數是關鍵，是中檔題．