Question

17．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂＜0，對任意的n∈N^*，恒有|a_n+1-a_n|=2ⁿ，且{a_2n-1}是遞增數列，{a_2n}是遞減數列，則數列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$．

Answer 1

分析 （方法一）：根據題意依次求出a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、…，從數字的變化上找規律，歸納出數列的遞推公式，再利用累加法求出通項公式；
（方法二）：由題意去掉絕對值得：a_2n+1-a_2n=±2²ⁿ，a_2n-a_2n-1=±2^2n-1，兩式相加化簡后，由{a_2n-1}遞減、{a_2n}遞增化簡式子，由a₂＜a₁得數列的遞推公式，再利用累加法求出通項公式．

解答 解：（方法一）：
由題意得，a₁=1，a₂＜0，對任意的n∈N^*，恒有|a_n+1-a_n|=2ⁿ，
且{a_2n-1}是遞增數列，{a_2n}是遞減數列，
所以依次得，a₂=-1，a₃=3，a₄=-5，a₅=11，a₆=-21，…，
從數字的變化規律得，a_n+1-a_n=（-1）ⁿ2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（-1）^n-1•2^n-1+（-1）^n-2•2^n-2+…+2²-2+1
=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$；
（方法二）：∵對任意的n∈N^*，恒有|a_n+1-a_n|=2ⁿ，
∴a_2n+1-a_2n=±2²ⁿ，a_2n-a_2n-1=±2^2n-1，
則兩式相加得，a_2n+1-a_2n-1=±2²ⁿ±2^2n-1，
∵{a_2n-1}是遞增數列，∴a_2n+1-a_2n-1＞0，
則a_2n+1-a_2n=2²ⁿ，
同理，由{a_2n}是遞減數列得，a_2n-a_2n-1=-2^2n-1，
又a₂＜a₁，∴a_n+1-a_n=（-1）ⁿ2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（-1）^n-1•2^n-1+（-1）^n-2•2^n-2+…+2²-2+1
=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$，
故答案為：$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$．

點評 本題考查了含絕對值數列的單調性，等比數列的前n項和公式，累加法求出通項公式，考查了猜想歸納方法，推理能力與化簡能力，屬于難題．