Question

9．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+3{x}^{2}，0≤x＜k}\\{lo{g}_{2}x+1，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在k使得函數f（x）的值域為[0，2]，則實數a的取值范圍是{2}．

Answer 1

分析 畫出函數f（x）中兩個函數解析式對稱的圖象，然后求出能使函數值為2的關鍵點，進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+3{x}^{2}，0≤x＜k}\\{lo{g}_{2}x+1，k≤x≤a}\end{array}\right.$，
∴函數f（x）的圖象如下圖所示：

∴函數f（x）在[0，k）上為增函數，在[k，a]也為增函數，
由于當x=1時，-x³+3x²=2，
當x=2時，log₂x+1=2，
故若存在k使得函數f（x）的值域為[0，2]，
則a∈{2}，
故答案為：{2}．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的值域，數形結合思想，難度中檔．