Question

4．記[x]表示不超過x的最大整數，如[1.3]=1，[-1.3]=-2．設函數f（x）=x-[x]，若方程1-f（x）=log_ax有且僅有3個實數根，則正實數a的取值范圍為（　　）

• A． （3，4]
• B． [3，4）
• C． [2，3）
• D． （2，3]

Answer 1

分析 分別作出函數y=1-f（x），y=log_ax的圖象，可得a＞1．其中點（1，0）在函數y=log_ax的圖象上，而不在函數
y=1-f（x）的圖象上．由于方程1-f（x）=log_ax有且僅有3個實數根，可知：函數y=1-f（x）與y=log_ax的圖象有且僅有3個交點，即可得出．

解答 解：分別作出函數y=1-f（x），y=log_ax的圖象．
0＜a＜1時，不滿足條件，舍去，因此a＞1．
其中點（1，0）在函數y=log_ax的圖象上，而不在函數y=1-f（x）的圖象上．
對于函數y=1-f（x），x∈[n，n+1）（n∈N），則y∈（0，1]．
由于方程1-f（x）=log_ax有且僅有3個實數根，
∴函數y=1-f（x）與y=log_ax的圖象有且僅有3個交點，
∴log_a3≤1，log_a4＞1，
聯立解得3≤a＜4．
故選：B．

點評 本題考查了通過函數圖象的交點求出方程的根的個數、對數函數圖象、取整函數的圖象，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．