Question

19．設(shè)0≤α≤π，不等式8x²-（8sinα）x+cos2α≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 將不等式看成二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用二次函數(shù)≥0對(duì)一切x∈R恒成立，可得△≤0，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題，即可求解實(shí)數(shù)α的取值范圍．

解答 解：由題意：不等式8x²-（8sinα）x+cos2α≥0對(duì)任意x∈R恒成立，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：△≤0，
即：（8sinα）²-4×8×cos2α≤0
整理得：4sin²α≤1，
∴$-\frac{1}{2}≤sinα≤\frac{1}{2}$
∵0≤α≤π，
∴$0≤α≤\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}≤α≤π$．
所以α的取值范圍是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題的求解，利用了二次函數(shù)數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的問(wèn)題，屬于中檔題．