Question

9．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足c=$\sqrt{2}$，a²+b²=c²+$\sqrt{2}$ab的△ABC有兩個，則邊長BC的取值范圍是（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}）$
• B． $（1，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{2}，2）$
• D． $（\sqrt{3}，2）$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結合范圍C∈（0，π），可求C，由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=2sinA，由題意sinA∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），即可得解．

解答 解：∵a²+b²=c²+$\sqrt{2}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{4}$，
∵c=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2sinA，
∵A∈（0，$\frac{3π}{4}$），且滿足條件的△ABC有兩個，可得sinA∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴BC=a=2sinA∈（$\sqrt{2}$，2）．
故選：C．

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，考查了數形結合思想，屬于中檔題．