Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{36}$+$\frac{y^2}{16}$=1上的一點M到原點O的距離與左焦點F₁到原點的距離相等，則△OMF₁的面積為8．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出c，設出M坐標，由已知及M在橢圓上聯立方程組求出M縱坐標的絕對值，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓$\frac{x^2}{36}$+$\frac{y^2}{16}$=1，得a²=36，b²=16，則$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
設M（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{\frac{{m}^{2}}{36}+\frac{{n}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，解得|m|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，|n|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴△OMF₁的面積為S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{8\sqrt{5}}{5}=8$．
故答案為：8．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查計算能力，是基礎題．