Question

2．已知三次函數f（x）=ax³+bx（a＞0），下列命題正確的是①②．
①函數f（x）關于原點（0，0）中心對稱；
②以A（x_A，f（x_A）），B（x_B，f（x_B））兩不同的點為切點作兩條互相平行的切線，分別與f（x）交于C，D兩點，則這四個點的橫坐標滿足關系（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1；
③以A（x₀，f（x₀））為切點，作切線與f（x）圖象交于點B，再以點B為切點作直線與f（x）圖象交于點C，再以點C作切點作直線與f（x）圖象交于點D，則D點橫坐標為-6x₀；
④若b=-2$\sqrt{2}$，函數f（x）圖象上存在四點A，B，C，D，使得以它們為頂點的四邊形有且僅有一個正方形．

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性即可得到函數f（x）關于原點（0，0）中心對稱；求導利用導數的幾何意義及直線方程x_A=-x_B，x_C=-2x_A，x_D=-2x_B，即可求得（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1；由x_B=-2x₀，x_C=-2x_B，x_D=-2x_C，可得x_D=-8x₀，根據函數的圖象可知這樣的正方形要么不存在，要么是偶數個存在．

解答 解：①三次函數f（x）=ax³+bx（a＞0），
∴f（-x）=-ax³-bx=-f（x），
∴函數y=f（x）為奇函數，
∴函數y=f（x）的圖象關于原點對稱．
故①正確．
②由f（x）=ax³+bx
求導f′（x）=3ax²+b，
A（x_A，f（x_A）），B（x_B，f（x_B））兩不同的點的為切點作兩條互相平行的切線，
∴f′（x_A）=f′（x_B）
∵A，B為不同的兩點，
∴x_A=-x_B，
根據①可知，f（x_A）=-f（x_B）
以點A為切點的切線方程為：y-（$a{x}_{A}^{3}$+bx_A）=（3a${x}_{A}^{2}$+b）（x-x_A），
整理得：y=（3a${x}_{A}^{2}$+b）x-2$a{x}_{A}^{3}$，
代入f（x）=ax³+bx可得：（x+2x_A）（x-x_A）²=0，
∴x_C=-2x_A，
同理可得：x_D=-2x_B，
又∵x_A=-x_B，
∴（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1，
∴②正確，
∵③以A（x₀，f（x₀））為切點，作切線與f（x）圖象交于點B，
再以點B為切點作直線與f（x）圖象交于點C，
再以點C為切點作直線與f（x）圖象交于點D，
此時滿足x_B=-2x₀，x_C=-2x_B，x_D=-2x_C，
∴x_D=-8x₀，
③錯誤．
④假設函數f（x）圖象上存在四點A，B，C，D，
使得以它們為頂點的四邊形為正方形．
根據函數f（x）的函數圖象的特點可知，
這樣的正方形要么不存在，要么是偶數個存在．
∴④錯誤．
故答案為：①②．

點評 本題考查函數圖象的性質，考查導數的幾何意義及直線方程的應用，考查學生的邏輯思維能力和分析問題的能力，屬于難題．