Question

12．已知a∈R，集合A={x|ax²-2x+2a-1=0}，f（x）=x+$\frac{a}{x}$，命題p：A=∅，命題q：f（x）在[1，+∞）上遞增．
（1）若p∧q為真，求實數a的取值范圍；
（2）若p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真時，a的取值范圍；
（1）若p∧q為真，則求兩個范圍的交集即可；
（2）若p∧q為為假，p∨q為真，分類求出a的范圍，綜合可得答案．

解答 解：若命題p：A=∅為真，
則$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△=4-4a（2a-1）＜0\end{array}\right.$，解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
若命題q：f（x）在[1，+∞）上遞增．
a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \sqrt{a}≤1\end{array}\right.$
解得：a∈（-∞，1]
（1）若p∧q為真，則a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）若p∧q為為假，p∨q為真，
則p，q一真一假，
若p真q假，則a∈（1，+∞），
若p假q真，則a∈（$-\frac{1}{2}$，1]，
綜上可得：a∈（$-\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次方程根的個數，對勾函數的圖象和性質，難度中檔．