Question

3．已知函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，則實數a的取值范圍是a≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 切線的斜率即為函數在切點處的導數，讓f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$恒成立即可，再由不等式恒成立時所取的條件得到實數a范圍．

解答 解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，（a＞0），得到f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∴f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$，且以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立
則f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，即a≥x₀-$\frac{1}{2}$x₀²在（0，3]上恒成立，
令g（x）=x₀-$\frac{1}{2}$x₀²（0＜x≤3），可知g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
故答案為：a≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了導數的幾何意義，函數在圖象上某點處的切線的斜率就是在該點處的導數值，考查了利用分離變量法求參數的取值范圍，此題是中檔題．