Question

6．已知函數f（x）=1n（x+a）+$\frac{{x}^{2}}{2（x+a）}$，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線垂直直線x+y+1=0．
（1）求a的值及f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＜x．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線垂直直線x+y+1=0，求出a，即可得出f（x）的極值；
（2）令g（x）=f（x）-x，證明：x＞0時，g′（x）＜0，函數單調遞減，即可證明結論．

解答 （1）解：∵f（x）=1n（x+a）+$\frac{{x}^{2}}{2（x+a）}$，
∴f′（x）=$\frac{x+2}{2x+2a}$，
∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線垂直直線x+y+1=0，
∴f′（0）=$\frac{1}{a}$=1，
∴a=1，
∴f′（x）=$\frac{x+2}{2x+2}$（x+1＞0），
∴x＞-1時，f′（x）＞0，函數單調遞增，函數無極值；
（2）證明：令g（x）=f（x）-x，則g′（x）=$\frac{-x}{2x+2}$，
x＞0時，g′（x）＜0，函數單調遞減，
∴g（x）＜g（0）=f（0）=0，
∴當x＞0時，f（x）＜x．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查不等式的證明，屬于中檔題．