Question

15．若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$且最大值為40，則$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{25}{6}$

Answer 1

分析 先根據條件畫出可行域，設z=ax+by（a＞0，b＞0），再利用幾何意義求最值，將最大值轉化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by（a＞0，b＞0），過可行域內的點（4，6）時取得最大值，從而得到一個關于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答 解：不等式表示的平面區域陰影部分，如圖示：

當直線z=ax+by（a＞0，b＞0）過直線x-y+2=0與直線2x-y-6=0的交點（8，10）時，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$）$\frac{4a+5b}{20}$=$\frac{5}{4}$+（ $\frac{5b}{4a}$+$\frac{a}{5b}$）≥$\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
故選：B．

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．