Question

10．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2S_n=3ⁿ⁺¹+2n-3．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=3ⁿ⁺¹+2n-3，可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+1，再檢驗當n=1時，a₁是否適合上式，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）依題意，na_n=n•3ⁿ+n，T_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ+（1+2+3+…+n），令A_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，利用錯位相減法可求得A_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，而1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，從而可得數列{na_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=3ⁿ⁺¹+2n-3，
∴當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3ⁿ⁺¹+2n-3）-[3ⁿ+2（n-1）-3]=2•3ⁿ+2，
∴a_n=3ⁿ+1，
又a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（3²+2×1-3）=4，適合上式，
∴a_n=3ⁿ+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3ⁿ+1，則na_n=n•3ⁿ+n，
∵數列{na_n}的前n項和T_n，
則T_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ+（1+2+3+…+n），
令A_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，①
則3A_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②得：-2A_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1{-3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹=（$\frac{1}{2}-n$）•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴A_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數列的求和，考查數列遞推關系式、分類法求和的運用，突出考查分組求和與錯位相減法求和的綜合應用，考查構造函數思想與運算求解能力，屬于中檔題．