Question

1．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點E，F分別在線段AC，D₁B上，且$\frac{AE}{AC}=\frac{{{D_1}F}}{{{D_1}B}}$=λ（λ∈（0，+∞）），直線EF與直線AD₁，B₁C所成的角為θ₁，θ₂，又f（λ）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]，則f（λ）隨著λ增大時（　�。�

• A． f（λ）先增大后減小，且最小值為1
• B． f（λ）先減小后增大，且最小值為1
• C． f（λ）先減小后增大，且最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． f（λ）先增大后減小，且最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 利用排除法，結合特殊位置，即可得出結論．

解答 解：$λ=\frac{1}{2}$時，|EF|=$\frac{1}{2}$，θ₁=θ₂=45°，f（$\frac{1}{2}$）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]=$\frac{1}{2}$，排除A，B；
λ=1時，|EF|=1，θ₁=θ₂=45°，f（1）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]=1；
λ=0時，|EF|=$\sqrt{2}$，θ₁=0，θ₂=90°，f（0）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]=$\sqrt{2}$，∴f（λ）先減小后增大．
故選C．

點評 本題考查棱柱的結構特征，考查分類討論的數學思想，考查極限思想，屬于中檔題．