Question

6．無窮等差數列{a_n}的各項均為整數，首項為a₁、公差為d，S_n是其前n項和，3、21、15是其中的三項，給出下列命題：
①對任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數列{a_n}中的一項；
②存在滿足條件的數列{a_n}，使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立；
③對任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數列{a_n}中的一項．
其中正確命題的序號為（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用等差數列的公式，分別討論前n項和3、21、15的具體項數，然后進行推理即可．首先根據條件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假設15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，得出結論．②利用等差數列的前n項和公式化簡S_2n=4S_n，得出結論．③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數列
{a_n}中的一項，得出結論．

解答 解：要使等差數列的公差最大，則3，15，21為相鄰的前n項和，
此時對應兩項為15-3=12，21-15=6，所以d≤6．
①99-21=78能被6整除，且$\frac{78}{6}$，假設15和21之間有n項，
那么99和21之間有13n項，所以99一定是數列{a_n}中的一項，所以①正確．
②如果有S_2n=4S_n，那么由等差數列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$]，
化簡得到，d=2a₁，所以只要滿足條件d=2a₁的數列{a_n}，
就能使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，所以②正確．
③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數列{a_n}中的一項，所以③錯誤．
綜上可得：只有①②正確．
故選：A．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．