Question

8．如圖，AB為圓O的直徑，點E，F在圓O上，且AB∥EF，AB=2EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直．
（I）證明：OF∥平面BEC；
（Ⅱ）證明：平面ADF⊥平面BCF．

Answer 1

分析 （I）先證四邊形OBEF為平行四邊形，可得OF∥BE，即可證明OF∥平面BEC；
（Ⅱ）由面面垂直可得AD⊥平面ABEF，從而得到AD⊥BF，由直徑的性質得BF⊥AF，故得出BF⊥平面ADF，從而得出平面DAF⊥平面CBF．

解答 證明：（I）∵AB為圓O的直徑，AB=2EF，AB∥EF，
∴BO=EF，BO∥EF，
∴四邊形OBEF為平行四邊形，
∴OF∥BE，
又BE?平面BEC，OF?平面BEC，∴OF∥平面BEC；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD
∴AD⊥平面ABEF，∵BF?平面ABE，
∴AD⊥BF，
∵AB是圓O的直徑，
∴BF⊥AF，又AD?平面ADF，AF?平面ADF，AD∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF，∵BF?平面BCF，
∴平面DAF⊥平面CBF．

點評 本題考查了線面平行、垂直的判定，考查面面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．