Question

9．如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現在又新架設了 一條索道AC，李在山腳B處看索道AC，發現張角∠ABC=120°；從B處攀登4千米到達D處，回頭看索道AC，發現張角∠ADC=150°；從D處再攀登8千米方到達C處，索道AC的長為$4\sqrt{13}$千米．

Answer 1

分析 在△ABC中根據∠ABD=120°，∠ADB=180°-∠ADC=30°，利用內角和定理算出∠DAB=30°，從而AB=BD=4千米，利用余弦定理算出AD=4$\sqrt{3}$．然后在△ADC中，根據兩邊AD、DC長和夾角∠ADC=150°，利用余弦定理解出AC²值，從而得出AC．

解答 解：在△ABD中，BD=4千米，∠ABD=120°，
∵∠ADB=180°-∠ADC=30°
∴∠DAB=180°-120°-30°=30°
得△ABD中，AB=BD=4千米，AD=4$\sqrt{3}$（千米）
在△ADC中，DC=8千米，∠ADC=150°
∴AC²=AD²+DC²-2 AD•DC•cos∠ADC      
=4²×3+8²-2×4$\sqrt{3}$×8×cos150°=208（千米）
∴AC=$4\sqrt{13}$千米．
故答案為$4\sqrt{13}$．

點評 本題以山上的索道為例，求嵩山的一條索道AC之長．著重考查了三角形內角和定理、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．