Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（m-2）$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{i}$+（m+1）$\overrightarrow{j}$，其中$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分別為x、y軸正方向單位向量．
（1）若m=2，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求實數m的值．

Answer 1

分析 由已知，將$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$坐標化，利用平面向量的坐標運算解答即可．
（1）將m代入兩個向量的坐標，進行數量積的坐標運算即可；
（2）分別求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐標，利用向量垂直數量積為0，求出m．

解答 解：因為$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分別為x、y軸正方向單位向量，所以$\overrightarrow{a}$=（m-2，2），$\overrightarrow{b}$=（1，m+1），
所以（1）m=2時，$\overrightarrow{a}$=（0，2，），$\overrightarrow{b}$=（1，3），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的余弦值$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為arccos$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（m-1，m+2），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（m-3，1-m），又（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），所以（m-1）（m-3）+（m+2）（1-m）=0，即-5m+5=0，解得m=1．

點評 本題考查了平面向量的運算；利用已知將向量坐標化使得運算簡便．