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20.在如圖所示的四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,SA=AB=BC=a,AD=3a(a>0),E為線段BS上的一個動點.
(1)證明:DE和SC不可能垂直;
(2)當點E為線段BS的三等分點(靠近B)時,求二面角S-CD-E的余弦值.

分析 由題可知,可以直接建立空間直角坐標線證明位置關系和計算角.
(1)只要向量$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{SC}≠0$恒成立,即可說明DE和SC不可能垂直;也可用反證法:假設DE與SC垂直,即$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}=0$,找出矛盾.
(2)求出平面SCD和平面CDE的法向量,用向量角的余弦值來反應二面角的大小.

解答 解:(1)∵SA⊥底面ABCD,∠DAB=90°,
∴AB、AD、AS兩兩垂直.故以A為原點,建立空間直角坐標系,如圖  …(1分)
則S(0,0,a),C(a,a,0),D(0,3a,0)(a>0),
∵SA=AB=a且SA⊥AB,
∴設E(x,0,a-x)其中0≤x≤a,…(2分)
∴$\overrightarrow{DE}=(x,-3a,a-x)$,$\overrightarrow{SC}=(a,a,-a)$,
假設DE和SC垂直,則$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}=0$,…(4分)
即ax-3a2-a2+ax=2ax-4a2=0,解得x=2a,…(5分)
這與0≤x≤a矛盾,假設不成立,所以DE和SC不可能垂直   …(6分)
(2)∵E為線段BS的三等分點(靠近B),∴$E(\frac{2}{3}a,0,\frac{1}{3}a)$.
設平面SCD的一個法向量是$\overrightarrow{n_1}=({x_1},{y_1},{z_1})$,
∵$\overrightarrow{CD}=(-a,2a,0)$,$\overrightarrow{SD}=(0,3a,-a)$,
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{SD}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}-a{x_1}+2a{y_1}=0\\ 3a{y_1}-a{z_1}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2{y_1}\\{z_1}=3{y_1}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n_1}=(2,1,3)$,…(8分)
設平面CDE的一個法向量是$\overrightarrow{n_2}=({x_2},{y_2},{z_2})$,
∵$\overrightarrow{CD}=(-a,2a,0)$,$\overrightarrow{DE}=(\frac{2}{3}a,-3a,\frac{1}{3}a)$,
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}-a{x_2}+2a{y_2}=0\\ \frac{2}{3}a{x_2}-3a{y_2}+\frac{1}{3}a{z_2}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=2{y_2}\\{z_2}=5{y_2}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n_2}=(2,1,5)$,…(10分)
設二面角S-CD-E的平面角大小為θ,由圖可知θ為銳角,
∴$cosθ=|cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>|=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{4+1+15}{{\sqrt{14}•\sqrt{30}}}=\frac{{2\sqrt{105}}}{21}$,
即二面角S-CD-E的余弦值為$\frac{{2\sqrt{105}}}{21}$…(12分)

點評 考查了用空間向量法分析空間位置關系.考查了用空間向量法求法向量、二面角的大。疾榱嘶瘹w思想,空間想象能力,運算能力.本題能想到用向量法是解題的關鍵,在處理第一問的兩直線不垂直問題有一定的技巧,且各棱沒有明確的數值,用字母來表示長度,運算上有一定的難度,屬于中檔題.

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