Question

14．已知函數f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設函數g（x）=[f（x）]²-2，x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用輔助角公式化簡，將已知函數解析式轉化為正弦函數，根據正弦函數圖象解答；
（Ⅱ）首項求得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數圖象解題．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）
得：2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），故f（x）的單調遞增區間是：[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]²-2，
=4sin²（x+$\frac{π}{3}$）-2，
=4×$\frac{1}{2}$[1-cos（2x+$\frac{2π}{3}$）]-2，
=-2cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值是1，最小值是-2．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，正弦函數圖象．利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．