Question

3．在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC=2，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，∠CBA=30°．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）若PC=2，點M是棱PB上的點，且CM∥平面PAD，求BM的長．

Answer 1

分析 （1）推導出PC⊥AC，AC=2，從而AC⊥BC，進而AC⊥平面PBC，由此能證明AC⊥PB．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BM的值．

解答 證明：（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，
又∠CBA=30°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{B^2}+B{C^2}-2AB•BCcos∠CBA}$
=$\sqrt{16+12-2×4×2\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}=2$，
∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，∴∠ACB=90°，
故AC⊥BC．
又∵PC、BC是平面PBC內的兩條相交直線，
∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．   7分
解：（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，
B（0，2$\sqrt{3}$，0），A（2，0，0），P（0，0，2），D（1，-$\sqrt{3}$，0），
設M（0，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PB}$，（0≤λ≤1），即（0，b，c-2）=（0，2$\sqrt{3}λ$，-2λ），
∴b=2$\sqrt{2}λ$，c=2-2λ．M（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），∴$\overrightarrow{CM}$=（0，2$\sqrt{3}$λ，2-2λ），
設平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=x-\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
∵CM∥平面PAD，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{m}$=-2λ+2-2λ=0，解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴M（0，$\sqrt{3}$，1），
∴BM=$\sqrt{（2\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}+（0-1）^{2}}$=2.14分

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．