Question

10．已知數列{a_n}是等差數列，且a₂=-1，數列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n（n=2，3，4，…），且b₁=b₃=1．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：b₂-b₁=a₂=-1，b₁=b₃=1，求得b₂=0，代入求得a₃=1，根據等差數列的性質，求得d=2，a₁=a₂-d，即可求得a₁的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=-3+2（n-1）=2n-5，當n≥2時，b_n-b_n-1=2n-5，采用“累加法”即可求得b_n=n²-4n+4，（n≥2），當n=1時，b₁=1也滿足，求得數列{b_n}的通項公式．

解答 解：（Ⅰ）由數列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n，（n≥2，n∈N*），
∴b₂-b₁=a₂=-1，
b₁=b₃=1，
∴b₂=0，
a₃=b₃-b₂=1，
∵數列{a_n}是等差數列，
∴d=a₃-a₂=1-（-1）=2，
∴a₁=a₂-d=-1-2=-3，
a₁的值-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數列{a_n}是以-3為首項，以2為公差的等差數列，
a_n=-3+2（n-1）=2n-5，
∴當n≥2時，b_n-b_n-1=2n-5，
b_n-1-b_n-2=2（n-2）-5，
…
b₂-b₁=-1，
將上述等式相加整理得：b_n-b₁=$\frac{-1+（2n-5）}{2}$•（n-1）=n²-4n+3，
∴b_n=n²-4n+4，（n≥2），
當n=1時，b₁=1也滿足，
∴b_n=n²-4n+4（n∈N*）．

點評 本題考查數列的遞推公式，考查等差數列的通項公式的求法，“累加法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．