Question

3．已知函數f（x）=x²+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）判斷f（x）在[2，+∞）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（-1）和f（1），根據奇函數、偶函數的定義便可說明f（x）為非奇非偶函數；
（Ⅱ）根據函數單調性定義，設任意的x₁＞x₂≥2，然后作差，通分，提取公因式，從而可判斷f（x₁），f（x₂）的大小關系，進而即可得出f（x）在[2，+∞）上的單調性．

解答 解：（Ⅰ）f（-1）=0，f（1）=2；
∴f（-1）≠-f（1），且f（-1）≠f（1）；
∴f（x）為非奇非偶函數；
（Ⅱ）設x₁＞x₂≥2，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥2；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜1$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上為增函數．

點評 考查奇函數、偶函數的定義，判斷一個函數為非奇非偶函數的方法，根據函數單調性定義判斷和證明一個函數單調性的方法和過程，以及作差比較法的運用．