Question

已知函數f（x）=（x²+ax+b）e^-x在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）先求導由題意得f'（1）=0⇒b=1，（2）先求出函數的導數，再通過討論a的范圍和導數符號，從而求出數f（x）的單調性．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+b）e^-x，
∴f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+b）e^-x=[-x²+（2-a）x+（a-b）]e^-x，
由題意在x=1處取得極值得f'（1）=0，
∴e^-1（1-b）=0，
∴b=1，
經檢驗，b=1符合題意；
（2）由（1）得f（x）=（x²+ax+1）e^-x，
令f′（x）=[-x²+（2-a）x+（a-1）]e^-x=-（x-1）[x-（1-a）]e^-x，
e^-x＞0對任意x∈R都成立，
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=1-a，
①當1=1-a即a=0時，f′（x）≤0，函數在R上單調遞減；
②當a＞0即1-a＜1時，令f′（x）＞0，得1-a＜x＜1，則函數在（1-a，1）上單調遞增，
令f′（x）＜0，得x＜1-a或x＞1，則函數在（-∞，1-a）和（1，+∞）上單調遞減；
③當a＜0即1-a＜1時，令f′（x）＞0，得1＜x＜1-a，則函數在（1，1-a）上單調遞增，
令f′（x）＜0，得x＜1或x＞1-a，則函數在（-∞，1）和（1-a，+∞）上單調遞減．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與最值，確定函數的單調性是關鍵．