Question

某省級示范高中2015年有向甲、乙、丙三所大學推薦保送生的名額，根據這三所大學保送生推薦的條件，該校共有四名學生符合推薦條件學校按照保送生推選的程序，首先由這四名學生各自自主申請，每位申請人只能申請一所大學的保送名額，已知這四名學生申請其中任一所大學都是等可能的，而且他們在申請時互不影響．
（1）求恰有兩位學生都申請甲這所大學的概率；
（2）記這四位學生所申請的大學的個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望；
（3）對于（2）中的ξ，設“函數f（x）=3sin

x+ξ

2

π，x∈R是偶函數”為事件D，求事件D發生的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：計算題,概率與統計

分析：（1）四位學生申請大學共有3×3×3×3=81種，恰有兩位學生都申請甲這所大學有

C

2 4

•2•2=24種，從而示概率；
（2）ξ的取值有1，2，3；分別求概率得到分布列，并求數學期望；
（3）由古典概型概率公式求概率．

解答： 解：（1）四位學生申請大學共有3×3×3×3=81種，
恰有兩位學生都申請甲這所大學有

C

2 4

•2•2=24種，
故恰有兩位學生都申請甲這所大學的概率為

24

81

=

8

27

；
（2）由題意，ξ的取值有1，2，3；
故分布列為

ξ	1	2	3
P	1 27	14 27	4 9

數學期望Eξ=1×

1

27

+2×

14

27

+3×

4

9

=

65

27

；
（3）在1，2，3中，函數f（x）=3sin

x+ξ

2

π，x∈R是偶函數時，ξ=1或3；
故事件D發生的概率為

2

3

．

點評：本題考查了離散型隨機變量的概率及數學期望的求法，屬于基礎題．