Question

某種報紙，進貨商當天以每份進價1元從報社購進，以每份售價2元售出．若當天賣不完，剩余報紙報社以每份0.5元的價格回收．根據市場統計，得到這個季節的日銷售量X（單位：份）的頻率分布直方圖（如圖所示），將頻率視為概率．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；
（Ⅱ）若進貨量為n（單位：份），當n≥X時，求利潤Y的表達式；
（Ⅲ）若當天進貨量n=400，求利潤Y的分布列和數學期望E（Y）（統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由已知得100a+0.002×100+0.003×100+0.0035×100=1，由此能求出a．
（Ⅱ）由n≥X，得Y=（2-1）X-（n-X）0.5，由此能求出利潤Y的表達式．
（Ⅲ）若當天進貨量n=400，依題意銷售量X可能值為200，300，400，對應的Y分別為：100，250，400．由此能求出利潤Y的分布列和數學期望E（Y）．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可得：
100a+0.002×100+0.003×100+0.0035×100=1，
解得 a=0.0015…（2分）
（Ⅱ）∵n≥X，
∴Y=（2-1）X-（n-X）0.5
=1.5X-0.5n…（7分）
（Ⅲ）若當天進貨量n=400，
依題意銷售量X可能值為200，300，400，
對應的Y分別為：100，250，400．
利潤Y的分布列為：

Y	100	250	400
P	0.20	0.35	0.45

所以，E（Y）=0.20×100+250×0.35+0.45×400=287.5（元）…（12分）

點評：本題考查概率分布直方圖的應用，考查函數表達式的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題．