Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．（注：[ln（1+x）]′=

1

1+x

）
（1）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數恒成立問題,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）利用1處的導數值為0就可求的a的值；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，則f（x）_min≥0，分當0＜a≤1時和當a＞1時兩種情況，利用導數法，求出函數的最小值，進而綜合討論結果，可得a的取值范圍；
（3）要證明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

．即ln（1+

1

2014

）-

1

1+2014

＞0，由（2）知a=1時，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）單調遞增．又

1

1+2014

＞0，f（0）=0，可得結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
∴函數f′（x）=

1

1+x

-

a(x+1)-ax

(x+1)2

=

x+1-a

(x+1)2

（a＞0）．
∵x=1是函數f（x）的一個極值點，
∴f′（1）=

2-a

4

=0
∴a=2；…（2分）
（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴f（x）_min≥0，…（3分）
當0＜a≤1時，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上為增函數，..（4分）
∴f（x）_min=f（0）=0成立，
∴0＜a≤1…（5分）
當a＞1時，令f′（x）＞0，則x＞a-1，令f′（x）＜0，則0≤x＜a-1，…（6分）
即f（x）在[0，a-1）上為減函數，在（a-1，+∞）上為增函數，
∴f（x）_min=f（a-1）≥0，
又f（0）=0＞（a-1），則矛盾．
綜上，a的取值范圍為（0，1]…（8分）
證明：（3）要證：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，只需證(

2015

2014

)2015＞e．
兩邊取自然對數得，2015ln

2015

2014

＞1，…（9分）
即ln

2015

2014

＞

1

2015

，
即ln

2015

2014

-

1

2015

＞0，
即ln（1+

1

2014

）-

1

1+2014

＞0，…（11分）
由（2）知a=1時，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）單調遞增．
又

1

1+2014

＞0，f（0）=0，
f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

1+2014

＞f（0）=0…（13分）
∴（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

成立…（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的極佳，利用導數研究函數的單調性，利用單調性證明不等式，恒成立問題，綜合性強，運算量大，轉化困難，屬于難題．