Question

P是橢圓

x2

100

+

y2

64

=1上一點，F₁，F₂是焦點．
（1）若∠F₁PF₂=

π

4

，求△F₁PF₂的面積和P點坐標；
（2）求|PF₁||PF₁|的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的定義和余弦定理，求出△F₁PF₂的面積，
設出P（x，y），利用直線PF₁到直線PF₂的角的公式，得出方程③，把③代入橢圓方程，求出點P的坐標；
（2）根據橢圓的定義與幾何性質，得出|PF₁||PF₁|的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

100

+

y2

64

=1，所以a=10，b=8；∴c=6，
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，由橢圓的定義以及∠F₁PF₂=

π

4

，
∴t₁+t₂=20  ①
t₁²+t₂²-2t₁t₂cos

π

4

=12² ②，
由①²-②得2t₁t₂+

2

t₁t₂=256，
∴t₁t₂=

256

2+ 2

∴S_△F1PF2=

1

2

t₁t₂=

1

2

×

256

2+ 2

=64（2-

2

），
∴△F₁PF₂的面積為64（2-

2

）；
設P（x，y），則直線PF₁的斜率是kPF1=

y

x+6

，
直線PF₂的斜率是kPF2=

y

x-6

，
又∵∠F₁PF₂=

π

4

，
∴

y x+6 - y x-6

1+ y x+6 • y x-6

=tan

π

4

，
整理得x²=36-y²-12y③，
把③代入橢圓方程，得；
64（36-y²-12y）+100y²=100×64，
整理得，9y²-192y-1024=0，
解得y=

192( 2 -1)

18

，或y=-

192( 2 +1)

18

（不合題意，舍去）；
當y=

192( 2 -1)

18

時，
x²=100（1-

( 192( 2 -1) 18 )2

64

），
∴x=±10

1- ( 192( 2 -1) 18 )2 64

，
根據橢圓的對稱性得，P（±10

1- ( 192( 2 -1) 18 )2 64

，

192( 2 -1)

18

），
或P（±10

1- ( 192( 2 -1) 18 )2 64

，

192( 2 -1)

18

）；
（2）根據橢圓的定義與幾何性質，得|PF₁||PF₁|的最大值是（a+c）²=（10+6）²=256．

點評：本題考查了直線與橢圓的標準方程以及幾何性質的應用問題，題目中求點P的坐標數據不合適，是易錯題．