Question

已知在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=a．
（1）求異面直線CD與PB所成的角；
（2）求直線PC與平面ABCD所成角正切值；
（3）求二面角P-CD-A的大�。�

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：由題意畫圖，根據空間角的定義分別指出平面角，然后依據直角三角形求大小．

解答： 解：如圖，（1）因為ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，所以CD∥AB，
所以∠PBA為異面直線CD與PB所成的角，
又PA=AB=a．
所以∠PBA=45°；
異面直線CD與PB所成的角為45°；
（2）因為PA⊥底面ABCD，所以AC為PC在底面的射影，
所以∠PCA為直線PC與平面ABCD所成角，其正切值

PA

AC

=

a

2 a

2

2

；
（3）因為因為ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
所以PD⊥CD，AD⊥CD，
所以∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，又PA=AD=a，
所以∠PDA=45°，
所以二面角P-CD-A的大小為45°．

點評：本題考查了三棱錐中異面直線所成的角、線面角以及面面角的求法，關鍵是將所求轉化為平面角解答，體現了轉化的思想．