Question

已知函數f（x）=2x-π，g（x）=cosx．
（1）設h（x）=f（x）-g（x），若x₁，x₂∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），求證：

h(x1)+h(x2)

2

≥h（

x1+x2

2

）；
（2）若x₁∈[

π

4

，

3

4

π]，且f（x_n+1）=g（x_n），求證：|x₁-

π

2

|+|x₂-

π

2

|+…+|x_n-

π

2

|＜

π

2

．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性,不等式的證明

專題：證明題,導數的綜合應用,不等式

分析：（1）化簡h（x）=f（x）-g（x）=2x-π-cosx，則

h(x1)+h(x2)

2

-h（

x1+x2

2

）=cos

x1+x2

2

-

cosx1+cosx2

2

；令m（x）=cos

x+x2

2

-

cosx+cosx2

2

，x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），求導討論函數的單調性，從而證明；
（2）由f（x_n+1）=g（x_n）得2x_n+1-π=cosx_n，從而可得|x_n+1-

π

2

|=

1

2

|cosx_n|=

1

2

|sin（x_n-

π

2

）|≤

1

2

|x_n-

π

2

|≤（

1

2

）²|x_n-1-

π

2

|≤…≤（

1

2

）ⁿ|x₁-

π

2

|；從而可得|x₁-

π

2

|+|x₂-

π

2

|+…+|x_n-

π

2

|≤

π

4

+

π

4

•

1

2

+…+

π

4

（

1

2

）^n-1=

π

2

[1-（

1

2

）ⁿ]，從而得證．

解答： 證明：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=2x-π-cosx，
∴

h(x1)+h(x2)

2

-h（

x1+x2

2

）=cos

x1+x2

2

-

cosx1+cosx2

2

；
令m（x）=cos

x+x2

2

-

cosx+cosx2

2

，x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z）
則m′（x）=

sinx

2

-

1

2

sin

x+x2

2

=

1

2

[sinx-sin

x+x2

2

]，
又x，

x+x2

2

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z）；
∴當x∈[-

π

2

+2kπ，x₂]（k∈Z）時，m′（x）＜0；
當x∈[x₂，

π

2

+2kπ]（k∈Z）時，m′（x）＞0；
∴m（x）≥m（x₂）=0，
從而

h(x1)+h(x2)

2

≥h（

x1+x2

2

）；
（2）由f（x_n+1）=g（x_n）知：
2x_n+1-π=cosx_n，
∵當|x|≥

π

2

時，|x|≥1≥|sinx|，
當|x|≤

π

2

時，|x|≥|sinx|；
∴對任意x∈R，恒有|x|≥|sinx|成立；
∴|x_n+1-

π

2

|=

1

2

|cosx_n|=

1

2

|sin（x_n-

π

2

）|
≤

1

2

|x_n-

π

2

|≤（

1

2

）²|x_n-1-

π

2

|≤…≤（

1

2

）ⁿ|x₁-

π

2

|；
又x₁∈[

π

4

，

3

4

π]，
∴|x₁-

π

2

|≤

π

4

；
∴|x₁-

π

2

|+|x₂-

π

2

|+…+|x_n-

π

2

|≤

π

4

+

π

4

•

1

2

+…+

π

4

（

1

2

）^n-1
=

π

2

[1-（

1

2

）ⁿ]＜

π

2

；
故|x₁-

π

2

|+|x₂-

π

2

|+…+|x_n-

π

2

|＜

π

2

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及不等式的證明，同時考查了等比數列的判斷與求和及三角函數的應用等，屬于難題．