Question

若橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

2

，點D（

a

2

，

3

2

）在該橢圓上．
（1）求橢圓方程；
（2）在直線x=

4 3

3

上任取點P，過P作橢圓切線，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），證明：直線PA方程為

x1x

4

+yy₁=1，且直線AB過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用橢圓的離心率公式，點在橢圓上，及a，b，c的關(guān)系，解方程，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線PA的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，再由相切的條件，得到判別式為0，化簡整理，結(jié)合A在橢圓上，即可得到直線PA的方程，進(jìn)而得到直線PB的方程，求出直線AB的斜率，求出AB的方程，即可得到恒過定點．

解答： （1）解：由于橢圓的離心率為

3

2

，即有e=

c

a

=

3

2

，①
點D（

a

2

，

3

2

）在該橢圓上，則有

1

4

+

3

4b2

=1，
解得，b=1，則a²-c²=1，②
由①②解得，a=2，c=

3

．
則橢圓方程為：

x2

4

+y²=1；
（2）證明：設(shè)直線PA：y-y₁=k（x-x₁），
聯(lián)立橢圓方程x²+4y²=4，
消去y，可得，（1+4k²）x²+8k（y₁-kx₁）x+4（y₁-kx₁）²-4=0，
由于相切，則有判別式△=64k²（y₁-kx₁）²-16（1+4k²）[（y₁-kx₁）²-1]=0，
化簡得，（y₁-kx₁）²-1-4k²=0，
由于A在橢圓上，則x₁²+4y₁²=4，即有x₁²-4=-4y₁²，y₁²-1=-

1

4

x₁²，
則有（y₁²-1）+k²（x₁²-4）-2kx₁y₁=0，
即有-

1

4

x₁²-4k²y₁²-2kx₁y₁=0，即（

x1

2

+2ky₁）²=0，
則k=

x1

-4y1

，代入直線PA的方程，則有y-y₁=

x1

-4y1

（x-x₁），
整理，即得

x1x

4

+y₁y=

x12

4

+y₁²=1，
則直線PA方程為

x1x

4

+yy₁=1．
同理可得直線PB的方程為

x2x

4

+y₂y=1，
設(shè)P（

4 3

3

，n），則有

3

3

x₁+ny₁=1，

3

3

x₂+ny₂=1，
兩式相減可得，

3

3

（x₁-x₂）+n（y₁-y₂）=0，
則有AB的斜率為：k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

3

3n

，
則直線AB：y-y₁=-

3

3n

（x-x₁），
即有ny-ny₁=ny-（1-

3

3

x₁）=-

3

3

x+

3

3

x₁，
即有ny=1-

3

3

x，由

1- 3 3 x=0 y=0

解得，

x= 3 y=0

．
則有恒過定點（

3

，0），

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用判別式為0，考查直線的斜率公式，直線恒過定點問題，考查化簡整理運算能力，屬于中檔題．