Question

若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足：2B=A+C，且A＜B＜C，tanAtanC=2+

3

，求A，B，C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專(zhuān)題：解三角形

分析：由A，B及C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到A+C=2B，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，進(jìn)而得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（A+C），根據(jù)A+C的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tan（A+C）的值，把已知的tanAtanC的值代入，求出tanA+tanC的值，根據(jù)韋達(dá)定理得到關(guān)于tanA和tanC的方程，求出方程的解得到tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A和C的度數(shù)．

解答： 解：由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，
∴tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，又tanAtanC=2+

3

，
∴tanA+tanC=3+

3

，
∴tanA，tanC為二次方程x²-（3+

3

）x+2+

3

=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+

3

或tanC=2+

3

，tanC=1，
∵A＜B＜C，
∴A=45°，C=75°．B=60°．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正切函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，韋達(dá)定理，正弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，注意不要錯(cuò)解．