Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+1的單調減區間為（0，2）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）當x∈[0，2]時，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，根據x=0，x=2是方程3x²+2ax+b=0的兩個根，得到方程組解出即可；
（Ⅱ）當x∈[0，2]時，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，m＞

x

3(x2-2x+3)

，令g（x）=

x

3(x2-2x+3)

，求出g（x）的最大值，從而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
而函數f（x）=x³+ax²+bx+1的單調減區間為（0，2），
∴x=0，x=2是方程3x²+2ax+b=0的兩個根，
∴

b=0 12+4a+b=0

，
解得：a=-3，b=0；
（Ⅱ）當x∈[0，2]時，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，
即m（3x²-6x+9）＞x，∴m＞

x

3(x2-2x+3)

，
令g（x）=

x

3(x2-2x+3)

，
∴g′（x）=

1

3

•(

x

x2-2x+3

)′=

1

3

•

3-x2

(x2-2x+3)2

=0，
解得x=

3

或-

3

（舍去），
又g（0）=0，g（

3

）=

3 +1

12

，g（2）=

2

9

，
∴g（x） 的最大值為

3 +1

12

，
∴m＞

3 +1

12

．

點評：本題考查了函數的單調性，函數在閉區間上的最值問題，考查了導數的應用，考查了函數恒成立問題，是一道中檔題．