Question

設函數f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）當x∈[1，3]時，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中，求得a、b的值即可；
（2）利用換元法，由（1）得f（x）=log₂（4^x-2^x），
令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，再令t=2^x，則y=t²-t，可知函數y=（t-

1

2

）²-

1

4

在[2，8]上是單調遞增函數，從而當t=8時，取得最大值56，故x=3時，f（x）取得最大值．

解答： 解：∵函數f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12，
∴log₂（a-b）=1且log₂（a²-b²）=log₂12，
∴a-b=2，且a²-b²=（a-b）（a+b）=12，
∴a-b=2，且a+b=6，
解得：a=4，b=2
（2）由（1）得f（x）=log₂（4^x-2^x），
令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x
令t=2^x，則y=t²-t
∵x∈[1，3]，
∴t∈[2，8]，
顯然函數y=（t-

1

2

）²-

1

4

在[2，8]上是單調遞增函數，
所以當t=8時，取得最大值56，
∴x=3時，f（x）最大值為log₂56=3+log₂7．

點評：本題以對數函數為載體，考查學生利用待定系數法求函數解析式的能力，考查函數的單調性與最值，屬于基礎題．